TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos

Teorema fundamental del cálculo:

Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

i) F es continua en [a, b]

ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área T_c.

Si calculamos la derivada de esa función:

Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integracióncorresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro.

Regla de Barrow.

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función primitiva de f(x) en [a, b], es decir:

F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Generalización. Regla de la cadena:

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva de f(x) en [a, b],

sea g(x) una función diferenciable, entonces:

Visualización interactiva del proceso de integración.

Se muestra a continuación un applet que permite visualizar, interactivamente, el proceso de integración Riemann.

Técnicas de Integración.

A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.

Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, como por ejemplo una de las de la tabla ó bien reducirla a una integral más sencilla.

Integración por cambio de variable.

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).

Integración por partes.

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

Integración de funciones racionales:

Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:

a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).

En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:

Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la que nos queda por calcular).

A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.

 Aca un video de youtube  
https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss