La Integral Definida
Desde su origen, la noción
de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de
áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración
se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances
que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.
Concepto de
integral definida
La integral definida es un concepto utilizado
para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el
intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una
función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida
de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está
limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de
ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los
extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de
la integral definida
La integral definida cumple las siguientes
propiedades:
·
Toda integral extendida a un intervalo de un
solo punto, [a, a], es igual a cero.
·
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su
integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
·
La integral de una suma de funciones es igual
a la suma de sus integrales tomadas por separado.
·
La integral del producto de una constante por
una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se
puede «sacar» la constante de la integral).
·
Al permutar los límites de una integral, ésta
cambia de signo.
·
Dados tres puntos tales que a < b < c,
entonces se cumple que (integración a trozos):
·
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que
se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) g
(x), se verifica que:
Ilustración gráfica del concepto de integral
definida.
Función
integral
Considerando una función f continua en [a, b]
y un valor x [a, b], es posible definir una función
matemática de la forma:
donde, para no inducir a
confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t.
Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función
integral o,
también, función área pues cuando f es mayor o igual que
cero en [a, b], F (x) nos da el área.
Interpretación geométrica de la función
integral o función área.
Teorema
fundamental del cálculo integral
La relación entre derivada e integral
definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema
fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una
función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
A partir del teorema fundamental del cálculo
integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una
función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla
de Barrow:
·
Se busca primero una función F (x) que
verifique que F¿ (x) = f (x).
·
Se calcula el valor de esta función en los
extremos del intervalo: F (a) y F (b).
·
El valor de la integral definida entre estos
dos puntos vendrá entonces dado por:
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