PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces     0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces     

INTENTE DEMOSTRAR LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS

CONSERVACIÓN DE DESIGUALDADES

* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x)  0 entonces   representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

* Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con f(x)  g(x) para todo x en [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x)  g(x) podemos asegurar que f(x)  g(x)  0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto  

. De aquí  0 y de esta manera 

Supongamos que m y M son constantes tales que m  f(x)  M para a  x  b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la recta y = m    y   la recta   y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:

* Si f es integrable y   m  f(x)  M   para   a  x  b   entonces     m (b  a)  M (b  a).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f(x)  0)

Si y  f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M.

En general dado que m  f(x)  M podemos asegurar, por la propiedad anterior que 

Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad

 resulta m (b  a)   M (b  a).

SIMETRÍA

El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.

Sea f una función continua sobre el intervalo [–a, a]

a) Si f es par 

b) Si f es impar 

Demostración: tenemos en cuenta que a la podemos descomponer en dos nuevas integrales

        + 

       + 

En la primera integral sustituimos u  –x  du  –dx, además si x  –a  u  a.

   con esto la ecuación original resulta:

 

En el caso a) si la función es par f(–u)  f(u) entonces

     

Mientras que en el caso b) si la función es impar f(–u)  – f(u)

      0.

Ejemplo: Sabiendo que , calcule las siguientes integrales.

a)  b)  c)  d) 

Utilizando propiedades de las integrales resulta:

a) Como x² es una función par: 

    

b) Como x² es una función par:       2 

  

c)   3   8

d)        

ÁREA DE REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x)  f(x)  x  [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x  a y x  b es  

Demostración: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho  x y dibujamos un rectángulo representativo de alto f(x_i)  g(x_i) donde x está en el i-ésimo intervalo.

Área del rectángulo i  [f(x_i)  g(x_i)]  x

Sumando las áreas y considerando que el número de rectángulos tiende a infinito resulta que el área total es

Como f y g son continuas en el intervalo, la función diferencia f  g también los es y el límite existe.

Por lo tanto el área es área  

  

Es importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x)  f(x). Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x.

 

Integración respecto al eje y

Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x  f(y), x  g(y), y  c y la recta horizontal y  d, donde f y g son continuas y f(y)  g(y) para c  y  d, entonces su área resulta .

A modo de resumen:
Área  A  (en la variable x, se consideran rectángulos verticales)
donde a y b son las abscisas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.

Área  A    (en la variable y, se consideran rectángulos horizontales)

donde c y d son las ordenadas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.

Aca un video de youtube: 

https://www.youtube.com/results?search_query=PROPIEDADES+DE+LA+INTEGRAN+DEFINIDA